# P31: 硬币求和

英国的货币单位包括英镑£和便士p，在流通中的硬币一共有八种：

1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p), £2 (200p)

以下是组成£2的其中一种可行方式：

1×£1 + 1×50p + 2×20p + 1×5p + 1×2p + 3×1p

不限定使用的硬币数目，组成£2有多少种不同的方式？

这么久终于有要用到点数学的题目了.经典的生成函数应用.

m={1,2,5,10,20,50,100,200}; Coefficient[Series[1/Product[1-x^m[[i]],{i,8}],{x,0,200}],x^200]

# P32: 全数字的乘积

如果一个n位数包含了1至n的所有数字恰好一次，我们称它为全数字的；例如，五位数15234就是1至5全数字的。

7254是一个特殊的乘积，因为在等式39 × 186 = 7254中，被乘数、乘数和乘积恰好是1至9全数字的。

找出所有被乘数、乘数和乘积恰好是1至9全数字的乘法等式，并求出这些等式中乘积的和。

注意：有些乘积可能从多个乘法等式中得到，但在求和的时候只计算一次。

先来个判定函数fooQ来筛选那些乘数被乘数乘积1-9全数字的.

这个式子的两个乘数也不会很大.

两位数乘以三位数等于四位数,或一位数乘以四位数等于四位数,大的叫a小的叫b,穷举一下.

fooQ=Union[IntegerDigits[#1],IntegerDigits[#2],IntegerDigits[#1 #2]]==Range[9]&; Total[Union@@Table[If[ab<=9999&&fooQ[a,b],ab,0],{a,100,9999},{b,1,99}]]

# P33: 消去数字的分数

49/98是一个有趣的分数，因为缺乏经验的数学家可能在约简时错误地认为，等式49/98 = 4/8之所以成立，是因为在分数线上下同时抹除了9的缘故。

我们也会想到，存在诸如30/50 = 3/5这样的平凡解。

这类有趣的分数恰好有四个非平凡的例子，它们的分数值小于1，且分子和分母都是两位数。

将这四个分数的乘积写成最简分数，求此时分母的值。

也就是解方程

\left\{ \begin{aligned} &b = c\\ &\frac{10a + b}{10c + d} = \frac{a}{d} < 1\\ &0 < a,b,c,d \in N < 10 \end{aligned} \right.

然后转换成代码.其实...唔...我每次都要这么插一句话的原因是公式不能直接连代码高亮器,否则会被转译,要加一句废话当分隔符.

FindInstance[(10 a+b)/(10 c+d)==a/d<1&&b==c&&0<a<10&&0<b<10&&0<c<10&&0<d<10,{a,b,c,d},Integers,4] P34:各位数字的阶乘 145是个有趣的数，因为1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145。

找出所有各位数字的阶乘和等于其本身的数，并求它们的和。

注意：因为1! = 1和2! = 2不是和的形式，所以它们并不在讨论范围内。

和30题思路差不多吧,找上界,穷举,直接把代码搬过来改一下就能用了.

fooQ=Total[(IntegerDigits@#)!]==#&; max=First[n/.NSolve[{10^n==9!n,n>1},n]]; Total[Select[Range[10,Floor[10^max]],fooQ]] P35:圆周素数 197被称为圆周素数，因为将它逐位旋转所得到的数：197/971和719都是素数。

小于100的圆周素数有十三个：2、3、5、7、11、13、17、31、37、71、73、79和97。

小于一百万的圆周素数有多少个？

才一百万?不如穷举.....

都是一个思路,写个判定函数,Select...写了好几遍了.

fooQ:=#==NestWhile[RotateLeft,#,PrimeQ[FromDigits[#]]&,1,Length[#]]&; Length@Select[IntegerDigits[Array[Prime,PrimePi[10^6]]],fooQ] P36:双进制回文数 十进制数585 = 10010010012（二进制表示），因此它在这两种进制下都是回文数。

找出所有小于一百万，且在十进制和二进制下均回文的数，并求它们的和。

（请注意，无论在哪种进制下，回文数均不考虑前导零。）

又是判定加Select....唉...套路,都是套路

Total@Select[Range[10^6],IntegerDigits[#,2]==Reverse[IntegerDigits[#,2]]&&IntegerDigits[#]==Reverse[IntegerDigits[#]]&]

# P37: 可截素数

3797有着奇特的性质。不仅它本身是一个素数，而且如果从左往右逐一截去数字，剩下的仍然都是素数：3797、797、97和7；同样地，如果从右往左逐一截去数字，剩下的也依然都是素数：3797、379、37和3。

只有11个素数，无论从左往右还是从右往左逐一截去数字，剩下的仍然都是素数，求这些数的和。

注意：2、3、5和7不被视为可截素数。

郁闷,我想了下我没法证明只有11个素数会这样...

反过来做呗,{2,3,5,7}往左加一位{13, 23, 43, 53, 73, 83, 17, 37, 47, 67, 97}就是,往右加一位{23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79}就是,然后在这个基础上再构造.

别问我为啥只要是n=5次,反正我加100次也是这个结果.除非我能想明白为啥只有11个这样的素数...

Intersection取交集,Total加起来,最后减去{0,2,3,5,7}这5个.

fooQ[a_,b_]:=Select[Plus@@@Tuples@{# a,b^#2 Range@9},PrimeQ]&; PrimeList[x__,n_]:=Drop[Join@@FoldList[fooQ@x,{0},0~Range~n],2]; Tr[Intersection[PrimeList[1, 10, 5], PrimeList[10, 1, 5]]]

# P38: 全数字的倍数

将192分别与1、2、3相乘：

192 × 1 = 192 192 × 2 = 384 192 × 3 = 576

连接这些乘积，我们得到一个1至9全数字的数192384576。我们称192384576为192和(1,2,3)的连接乘积。

同样地，将9分别与1、2、3、4、5相乘，得到1至9全数字的数918273645，即是9和(1,2,3,4,5)的连接乘积。

对于n > 1，所有某个整数和(1,2, … ,n)的连接乘积所构成的数中，最大的1至9全数字的数是多少？

穷举.....然后又是Select判定.....

我们所要寻找的答案至少要大于题目给出的那个数918273645,所以怎么着9开头；

然后因为n大于1,这个数不可能是五位数,所以范围就出来了[9000,9999]

fooQ=Sort@(IntegerDigits[#]~Join~IntegerDigits[2 #])==Range[1,9]& list=Select[Range[9000,9999],fooQ] Row[Join@@IntegerDigits[Max@list {1,2}]]

# P39: 整数边长直角三角形

若三边长{a,b,c}均为整数的直角三角形周长为p，当p = 120时，恰好存在三个不同的解：

{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50} 在所有的p ≤ 1000中，p取何值时有解的数目最多？

解个方程的事儿.

$$\begin{gathered} \left{ \begin{gathered} a^2 + b^2 = c^2\ p = a + b + c\ p > c > b > a > 0\ \end{gathered} \right.\ \left{ \begin{gathered} 0 < a \leqslant \left\lfloor {p - \frac{p}{\sqrt 2 }} \right\rfloor\ b = \frac{p(2a - p)}{2(a - p)}\ \end{gathered} \right.\ \end{gathered} $$

翻成代码:

a=Floor[p(1-1/Sqrt[2])]; b[a_,p_]:=Table[(2i-p)p/(2i-2p),{i,1,a}]; Last@Ordering@Table[Total@Boole[IntegerQ/@b[a,p]],{p,1,1000}] P40:钱珀瑙恩常数 将所有正整数连接起来构造的一个十进制无理数如下所示：

0.123456789101112131415161718192021… 可以看出小数点后第12位数字是1。

如果dn表示上述无理数小数点后的第n位数字，求下式的值：

d1 × d10 × d100 × d1000 × d10000 × d100000 × d1000000 我选择直接数...

Times@@RealDigits[ChampernowneNumber[10],10,10^6][[1,10^Range[0,6]]] 连续计时10分54秒,没有压进10分钟有点遗憾.....思路倒是不难找,就是比如P38这种题真是阅读理解...